知ってしまうと意外とびっくり！クラスの中で同じ誕生日の生徒がいる確率

どうもビチューです。

学校のクラスの中で、誕生日が一緒の人がいると、何だか運命を感じてしまうかもしれません。

私も高校生の頃、クラスで誕生日が同じだった子がいて、これって奇跡なのかなと思ったものです。

しかし、数学を使えば、意外な結果が得られます。

高校数学で習う範囲でわかります。

この記事を読めば、担任の先生と同じ誕生日の生徒がいる確率と、クラスの中で同じ誕生日の生徒がいる確率がわかります。

担任の先生と誕生日の生徒がいる確率

まず、クラスの人数を40人とします。

話を簡単にするため、生まれた年はうるう年ではないとし、365日のどの日に生まれるかはどれも同じ程度に起こるものとします。

また、各生徒の誕生日は互いに影響を与えないものと仮定します。

直接求めるのは難しいので、あえて、担任の先生と同じ誕生日の生徒がいない確率を考えます。

その確率は、40人の生徒の誕生日が担任の先生の誕生日を除く364日のいずれかである確率です。それは、$\left(\frac{364}{365}\right)^{40}$で表せます。

これは、$\frac{364}{365}$が40回掛けられているという意味です。

したがって、求める確率は、全体（100％）からこれを引いた

$$1-\left(\frac{364}{365}\right)^{40}=1-0.89606…=0.10393…$$

となります。

この結果から、だいたい10％ですから、10人に1人といったところでしょうか。

同じような考え方で、クラスの中で同じ誕生日がいる生徒の確率を求めてみましょう。

まず、40人の誕生日がすべて違う起こり方を考えます。

最初の生徒の誕生日の日数の取り方は、365通り。

次の生徒の誕生日は、最初の生徒とは違うので、365-1=364通りです。

こんなかんじで40人までやっていくと、誕生日がすべて違う起こり方は、

365×（365-1）×(365-2)×…×（365-39）= 365×364×363×…326　（通り）

となります。

よって、求める確率は、次の通りです。

$$1-\left(\frac{365\times364\times363\times…\times326}{365^{40}}\right)=0.8912…$$

ほぼ90％なので、運命とは程遠いのかなと思ってしまいました（笑）

ちょっと数学的にこの考え方を述べてみたいと思います。

いろいろ試した結果として起こる事柄を、数学では事象といいます。

一般的に、事象Aに対して、”Aが起こらない“というAの事象を余事象と言って、Āで表します。

Aが起こる確率をP(A)、Aが起こらない確率をP(Ā)とすると、このような式が成り立ちます。

P(A)+P(Ā)=1

⇒　P(A)=1-P(Ā)

いかがだったでしょうか？

数学を使うと、一見これってすごいことなんじゃない！？と思うことも、実はそんな大したことはなかったという残酷な現実が突き付けられる例でした。

確率の問題は一番数学の中で実践的かもしれないので、調べてみると面白いかもしれません。