雨滴の落下運動にも数学！？これが解けるとちょっとカッコイイ微分方程式（初級編）

どうもビチューです。

皆さんは、微分方程式と聞くと、聞いただけでも拒否反応を示すかもしれません。

ですが、あえて数式を見せて、微分方程式を解けるようになってもらおうと思います。

この記事では、落下運動の微分方程式の解法をなるべくかみ砕いて解説していきます。

そして、これが解けるようになると、ちょっと賢くなった気分になれると思うので、ぜひ取り組んでみて下さい。

問題

では、早速次のような問題を考えてみましょう。

時刻tにおける雨滴の速度をv(t)として、雨滴が重力mg（gは重力加速度）を受けることを考慮すると、v=v(t)に関する次の微分方程式が成立する.

$$m\frac{dv}{dt}=mg$$

初速度v(0)=0として、この微分方程式を解け.

一見難しそうですが、要するに、vの値は何ですかとこの問題では言っています。

順を追って解説していきます。

それでは解説していきます。

まず、与えられたこの式の両辺（〇＝□）の部分に、共通の文字mがあるので、それを割ってきれいにすると、

$$\frac{dv}{dt}=g$$

となります。

次に、両辺をtについて積分するのですが、要するに、こういうことです。

$$\int\frac{dv}{dt}dt=\int{gdt}　…①$$

この式の左の部分（左辺）をみると、きれいにdt同士が消えるし、もやしみたいな記号∫（インテグラル）もついていて、残った文字はvだけなので、左辺はvとなります。

※厳密にはこんな説明ではダメだと思いますが、個人的なものも含んでなんとなくそういうものだと思ってもらえればいいと思います。

そして、∫は積分を表しているのですが、こういう性質があります。

$$\int{〇d□}=〇□+C$$

Cは積分定数と言って、∫を裸で計算する際に出てくる、とある数のことです。

∫が裸じゃないとは、例えばこんな感じです。

$$\int_{0}^{\infty} f(x) dx$$

∫の上と下になんかあるものは、積分定数は出てきません。

①の式の右側（右辺）の〇がg、□がtなので、①はこうなります。

$$v=gt+C…②$$

v(0)=0とは、v(t)=vにおいて、v(t)のtの部分が0、vが0ということなので、②に代入すると、

$$0=g\cdot{0}+C\\C=0$$

よって、求める答えは、②にC=0を代入した値、

$$\color{red}{v=gt}$$

が答えです。

ここまでの流れを大雑把にまとめると、

1.$\frac{dv}{dt}$だけの形に持っていく。
2.両辺を積分。
3.vとtの与えられた値を入れてvを決める。

といった感じです。

いかがだったでしょうか？

こういう場合の微分方程式は、両辺を1回だけ積分してしまえば、簡単に求めることができます。

これは初級編なので、次回は、雨滴に関するさらに進んだ微分方程式を紹介したいと思います。

本当にガリレオの式みたいな記事になると思います。

この問題は、以下の教科書から参照しました。