どうもビチューです。
今回は電気電子回路で出てくるRLC回路の抵抗と電源がないバージョンの以下の微分方程式、つまり、LC回路について解いていこうと思います。
電源と抵抗がない電子回路の微分方程式
$$L\frac{d^2Q(t)}{dt^2}+\frac{1}{C}Q(t)=0$$
$$\frac{1}{C}Q(t)を右辺に移項して、両辺をLで割ると、$$
$$\frac{d^2Q(t)}{dt^2}=-\frac{1}{LC}Q(t)…①$$
$$さあ、ここでどうするかというと、sinとcosの微分の関係について考えます。$$
$$(sint)’=\frac{d}{dt}sint=cost$$
$$(cost)’=\frac{d}{dt}cost=-sint$$
$$つまり、$$
$$\frac{d^2}{dt^2}sint=\frac{d}{dt}cost=-sint$$
$$これ、なんか使えそう～！と思います。$$
$$これを利用して、\omegaを定数とすると、$$
$$\frac{d^2}{dt^2}sinωt=\omega\frac{d}{dt}cosωt=-ω^2sinωt$$
$$\frac{1}{LC}=ω^2と置くと、①は、$$
$$\frac{d^2Q(t)}{dt^2}=-ω^2Q(t)$$
$$つまり、Q(t)=sinωtが①の\frac{d^2Q(t)}{dt^2}=-\frac{1}{LC}Q(t)の解となります！$$
$$嘘だと思ったら、確かめてみましょう！$$
$$Q(t)=sinωtより、まずこれを一回tについて微分すると、\frac{dQ(t)}{dt}=ωcosωt…②$$
$$②を一回tについて微分すると、\frac{d^2Q(t)}{dt^2}=-ω^2sinωt$$
$$右辺のsinωtってそういえばQ(t)だったので、\frac{d^2Q(t)}{dt^2}=-ω^2Q(t)となります！$$
$$ω^2=\frac{1}{LC}と最初に定義したので、問題ないです！$$
$$ここで、Aを定数とすると、Q(t)=Asinωt…③も解となります！$$
$$つまり、\frac{d^2}{dt^2}Asinωt=-ω^2Asinωtとなるので、問題ありません。$$
$$また、別にQ(t)=cosωtとおいても、同様に答えが出ます。$$
$$それもそのはず、sinとcosの微分の関係は、2回ずつすると、±のことは考えなければならないものの、$$
$$結局同じものが出て、ループするからです。$$
$$よって、Q(t)=Bcosωt…④も解となります！$$
$$実は、一般解は③と④の解の線形結合（定数倍して和をとったもの）になります。つまり、$$
$$Q(t)=Asinωt+Bcosωt=Asin\frac{1}{\sqrt{LC}}t+Bcos\frac{1}{\sqrt{LC}}t…⑤が答えです！$$
$$これも嘘だと思ったら、⑤をtについて2回微分すれば、$$
$$sinとcosがループしてんなということが分かり、答えになります。$$
電源と抵抗がないときのよく扱う解
$$ω=\frac{1}{\sqrt{LC}}、Q(t)=Asinωt+Bcosωt…①$$
$$t=0の時に、電荷がQ_0となる時を考えます。$$
$$つまり、Q(0)=Q_0、\left.{\frac{dQ(t)}{dt}}\right|_{t=0}=0のとき、…②$$
$$①にt=0を代入して、$$
$$Q(0)=Asin(ω・0)+Bcos(ω・0)=B$$
$$\left.{\frac{d}{dt}(Asinωt+Bcosωt)}\right|_{t=0}$$
$$=ωAcos(ω・0)-ωBsin(ω・0)$$
$$=ωA$$
$$②で定義した条件より、Q(0)=Q_0=B、ωA=0$$
$$\Rightarrow A=0、B=Q_0$$
$$よって、解は①に代入して、$$
$$Q(t)=Q_0cosωt$$
$$つまり、これは、振幅Q_0で振動する余弦波になることがわかります。$$
$$ちなみに、周期をTとおくと、ωT=2πより、$$
$$T=\frac{2π}{ω}=2π\sqrt{LC}$$
$$ちなみに、ωをよく、この振動系の固有角振動数と言います。$$
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